Question

【题目】如图，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，点D在AC上，其中∠ABC=∠DBE=90°.

(1)求∠DCE的度数；

(2)当AB=5，AD：DC=2：3时，求DE的大小；

(3)当点D在线段AC上运动时(D不与A重合)，请写出一个反映DA2，DC2，DB2之间关系的等式，并加以证明.

Answer 1

【答案】（1）∠DCE=90°；（2）；（3）2BD2=DA2+DC2，证明见解析.

【解析】

（1）由已知条件不难证明△ABD≌△CBE，可得∠A=∠ACB=∠BCE=45°，所以∠DCE=90°；（2）由AB=5可得AC=5，由AD：DC=2：3可以分别求出AD、CD的长度，进而求出CE的长度，利用勾股定理求出DE的长度即可；（3）由△BDE是等腰直角三角形，可得DE=BD，因为AD=CE，所以DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，所以2BD2=AD2+CD2.

（1）∵等腰直角△ABC，

∴AB=AC，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，

同理可得：DE=BE，∠DBE=90°，∠BDE=∠BED=45°，

∴∠ABD=∠CBE，

∵在△ABD与△CBE中，

，

∴△ABD≌△CBE，

∴∠A=∠ACB=∠BCE=45°，∠ABD=∠CBE，AD=CE，

∴∠DCE=90°；

（2）当AB=5，AD：DC=2:3时，有AC=，AD=，DC=，

在Rt△DCE中，CD=，CE=AD=，由勾股定理可得DE=；

（3）2BD2=DA2+DC2；

∵△BDE是等腰直角三角形,

∴DE=BD，

∵AD=CE，

∴DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，

故2BD2=AD2+CD2.