Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E．

（1）求证：AD∥OC；

（2）若AE=2，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；

（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=，然后根据勾股定理计算出AH=，则HE=AE-AH=2-=，再利用BE=BH-HE进行计算．

试题解析：（1）连结OA，如图，

∵AD是⊙O的切线，

∴OA⊥AD，

∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，

∴OA⊥OC，

∴AD∥OC；

（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，

在Rt△OAE中，∵AO2+OE2=AE2，

∴R2+（R-2）2=（2）2，解得R=4，

作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，

则AH=BH，

∵OHAE=OEOA，

∴OH==，

在Rt△AOH中，AH=，

∴HE=AE-AH=2-=

∴BH=，

∴BE=BH-HE=-=．