Question

【题目】如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．

（1）试说明CE是⊙O的切线；

（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；

（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB= ；（3）．

【解析】试题分析：（1）连接OC，如图1，要证CE是⊙O的切线，只需证∠OCE=90°即可；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，在Rt△OHC中运用三角函数即可；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，先证四边形AOCF是菱形，由对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．

试题解析：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OCsin∠COH，∴h=OCsin60°=OC，∴OC== ，∴AB=2OC= ；

（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OFsin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．