Question

【题目】一组对边平行，另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
（1）类比研究
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对四边形进行研究，完成表．

四边形	对称性	边	角	对角线
平行 四边形	．	两组对边分别平行，两组对边分别相等．	两组对角 分别相等．	对角线互相平分．
等腰 梯形	轴对称图形，过平行的一组对边中点的直线是它的对称轴．	一组对边平行，另一组对边相等．	．	．

（2）演绎论证
证明等腰梯形有关角和对角线的性质．
已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC、BD是对角线．
求证：
证明：
揭示关系
我们可以用图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系．

（3）请用类似的方法揭示四边形、对角线相等的四边形、平行四边形、矩形以及等腰梯形之间的关系．

Answer 1

【答案】
（1）中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等．
（2）

求证：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD

证明： ∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

故答案分别为中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；同一底上的两个角相等；对角线相等；∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．

方法一：

证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E．

∴∠ABE=∠DEC，

∵AD∥BC，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴AB=DE，

又∵AB=DC，

∴DE=DC，

∴∠DCE=∠DEC，

∴∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC=BD．

方法二：

证明：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F．

∴∠AEF=∠DFC=90°，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是平行四边形，

∴AE=DF，

在Rt△ABE和Rt△DCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△DCF，

∴∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠BAD=∠CDA，

在△ABC和△DCB中，

，

∴△ABC≌△DCB，

∴AC=BD．

（3）

解：如图所示．

【解析】（1）根据平行四边形、等腰梯形的性质即可解决问题．
（2.）结论：∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA，AC=BD．
方法一：过点D作DE∥AB，交BC于点E． 首先证明四边形ABED是平行四边形，推出AB=DE，又AB=DC，推出DE=DC，推出∠DCE=∠DEC，推出∠ABE=∠DCE，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再证明△ABC≌△DCB即可解决问题．
方法二：分别过点A、D作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F． 由Rt△ABE≌Rt△DCF，推出∠ABE=∠DCF，即∠ABC=∠DCB，由AD∥BC，推出∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，由∠ABC=∠DCB，推出∠BAD=∠CDA，再证明△ABC≌△DCB，即可．
（3.）模仿三角形和一些特殊三角形之间的关系，画出图形即可．
【考点精析】掌握推理与论证是解答本题的根本，需要知道一个正确的论证必须满足两个条件：1、论据（前提）是真实的；2、论证方式（推理形式）是正确的（有效的）．