Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CE=1，BC=6，求半圆O的半径的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD．

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD．

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠OBD．

∴∠ACB=∠ODB．

∴OD∥AC，

∴∠DEC=∠ODE．

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°．

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，

∵DE过半径OD的外端点D，

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：连接AD．

∵AB为半圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=∠ADB=90°．

∵AB=AC，BC=6，

∴CD=BD= BC=3，

又∵∠ECD=∠DBA，

∴△CED∽△BDA，

∴ = ．

∵CE=1，

∴ = ．

∴AB=9，

∴半圆O的半径的长为4.5．

【解析】（1）连接OD，AB为⊙0的直径得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形性质得AD平分BC，即DB=DC，则OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，则OD⊥DE，然后根据切线的判定方法即可得到结论；（2）连接AD．由AB为半圆O的直径，得到∠ADB=90°，根据垂直的定义得到∠DEC=∠ADB=90°．根据等腰三角形的性质得到CD=BD= BC=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【考点精析】利用相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．