Question

【题目】探究：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的同侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．求证：DE=AD+BE．

应用：如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．直接写出线段AD、BE、DE之间的相等关系．

Answer 1

【答案】探究：证明见解析；应用： AD=BE﹣DE，理由见解析.

【解析】

根据垂直得出∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，根据三角形的内角和定理和邻补角得出∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB，推出AD=CE，DC=BE，代入即可．

①∵AD⊥DE，BE⊥DE，∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DCA+∠ECB=180°﹣90°=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=BC，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE．

②AD=BE﹣DE，理由如下：

∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°．

又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE=90°﹣∠ECB．

在△ACD与△CBE中，∵∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE．

又∵CE=CD﹣DE，∴AD=BE﹣DE．