Question

【题目】如图，已知△ABC是面积为 的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD， ∴ = ，
∵AB=2AD，S△ABC= ，
∴S△ADE= ，
如图，在△EAF中，过点F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，
∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
设AH=HF=x，则EH=xtan30°= x．
又∵S△ADE= ，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面积为 的等边三角形，
∴ ×AB×CM= ，
∠BCM=30°，
设AB=2k，BM=k，CM= k，
∴k=1，AB=2，
∴AE= AB=1，
∴x+ x=1，
解得x= = ．
∴S△AEF= ×1× = ．
所以答案是： ．

【考点精析】认真审题，首先需要了解等边三角形的性质(等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°)，还要掌握相似三角形的性质(对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形)的相关知识才是答题的关键．