Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOCB的顶点O、A的坐标分别是（0，0）、（0，a），且满足． 点D是AB上一点， M，N垂直平分OD，分别交AB，OD，OC于点M，E，N，连接OM，DN．

（1）填空：a = ；

（2）求证：四边形MOND是菱形；

（3）若F为OA的中点，连接EF，且满足EF+OE=9，求四边形MOND的周长和面积．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）详见解析；（3）C菱形MOND=25，S菱形MOND=

【解析】

（1）根据二次根式的非负性进行求解即可；

（2）根据矩形AOCB的性质以及判定四边形MOND是平行四边形，再由菱形的判定求证即可；

（3）根据的中位线及矩形AOCB的性质构造直角三角形，设AD=x，

利用勾股定理求出x的值，再根据菱形MOND的性质，设，，利用勾股定理求出y，最后根据菱形的周长及面积求法进行求解即可.

（1）∵

∴，

∴

∴；

（2）证明：∵MN垂直平分OD

∴OM=DM，DE=OE，

∵四边形AOCB是矩形

∴AB∥OC

∴

在和中

∴

∴ME=NE

又∵DE=OE

∴四边形MOND是平行四边形

又∵OM=DM

∴四边形MOND是菱形；

（3）由（1）得OA=6

由（2）得DE=OE

又∵F为OA的中点

∴EF是的中位线，

∴

又∵EF+OE=9，DE=OE

∴

∴AD+OD =18

∵四边形AOCB是矩形

∴

在中

设AD=x，则

根据勾股定理，，解得x=8

∴AD=8，OD =10

由（2）得，四边形MOND是菱形

∴OM=MD=DN=ON

设，则

在中，根据勾股定理

，解得

∴

∴，.