Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=6cm，延长AB到E，使BE=2AB，连接CE，动点F从A出发以2cm/s的速度沿AE方向向点E运动，动点G从E点出发，以3cm/s的速度沿E→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设动点运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，FC与EG互相平分；
（2）连接FG，当t＜ 时，是否存在时间t使△EFG与△EBC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）设△EFG的面积为y，求出y与t的函数关系式，求当t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1，

∵AB=4，∴BE=2AB=8，

在Rt△BCE中，根据勾股定理得，CE=10，

由运动知，CG=3t﹣10，EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t．

∵FC与EG互相平分，

∴点G必在CD边上，

∴四边形CEFG是平行四边形，

∴CG=EF，

∴3t﹣10=12﹣2t，

∴t= ；

（2）解：∵当t＜ 时，点G在CE上，

∵△EFG与△EBC相似，

当△EFG∽△EBC时，

∴ ，

∴ ，

∴t= ，

当△EGF∽△EBC时，

∴ ，

∴ ，

∴t= ；

（3）解：当点G在CE上时，即：0＜t≤ ，如图3，

过点G作GM⊥BE，

∴GM∥BC，

∴△EMG∽△EBC，

∴ ，

∴ ，

∴GM= t，

∴y=S△EFG= EFGM= ×（12﹣2t）× t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣3）2+ ；

当t=3时，y最大= ．

当点G在CD上时，即： ＜t≤ ，

y=S△EFG= EF×BC= （12﹣2t）×6=﹣6t+36．

即：t=3时，y最大= ．

【解析】（1）在Rt△BCE中，根据勾股定理得，由运动知，CG=3t﹣10，EF=AB+BE﹣2t=12﹣2t．CE=10，判断出四边形CEFG是平行四边形，再用对边相等建立方程即可得出结论；（2）分当t＜ 时，点G在CE上与当点G在CD上时，即： ＜t≤ 两种情况，用相似三角形的对应边成比例建立方程即可；（3）分点G在CE上时，即：0＜t≤ 与点G在CD上时，即： ＜t≤ 两种情况，用三角形的面积y=S△EFG= EFGM与y=S△EFG= EF×BC即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的面积的相关知识，掌握三角形的面积=1/2×底×高，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．