Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD所在直线的位置关系为 ， 线段CF，BD的数量关系为；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足条件时，CF⊥BC（点C，F不重合），不用说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）垂直；相等
（2）45°
【解析】解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：
如图2，∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∴∠DAC+∠CAF=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，
∴∠CAF=∠BAD，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
即∠BCF=90°，
∴BC⊥CF，
即BD⊥CF；
故答案为：垂直，相等；
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：
如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又∵AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACF=∠ABC=45°
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：
如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，
∵∠BCA=45°，
∴∠AQC=45°，
∴∠AQC=∠BCA，
∴AC=AQ，
∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，
∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，
∴∠QAD=∠CAF，
∴△QAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AQD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD．

（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；（2）当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．