Question

【题目】已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；
（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2 ， 若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经过原点O，

∴0=4a+b，

∴当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0，

解得：x=0或﹣4，

∴抛物线与x轴另一交点A坐标是（﹣4，0）

（2）

解：∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b（a≠0，b＞0），（如图1）

∴顶点M坐标为（﹣2，b），

∵△AMO为等腰直角三角形，

∴b=2，

∵抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，

∴a（0+2）2+2=0，

解得：a=﹣ ，

∴抛物线C1：y=﹣ x2﹣2x

（3）

解：∵b=1，抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b=a（x+2）2+b过原点，（如图2）

∴a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+2）2+1=﹣ x2﹣x，

设N（n，﹣1），又因为点P（m，0），

∴n﹣m=m+2，

∴n=2m+2

即点N的坐标是（2m+2，﹣1），

∵顶点N在抛物线C1上，

∴﹣1=﹣ （2m+2+2）2+1，

解得：m=﹣2+ 或﹣2﹣

【解析】（1）由抛物线经过原点可知当x=0时，y=0，由此可得关于x的一元二次方程，解方程即可求出抛物线x轴另一交点坐标；（2）由△AMO为等腰直角三角形，抛物线的顶点为M，可求出b的值，再把原点坐标（0，0）代入求出a的值，即可求出抛物线C1的解析式；（3）由b=1，易求线抛物线C1的解析式，设N（n，﹣1），再由点P（m，0）可求出n和m的关系，当顶点N在抛物线C1上可把N的坐标代入抛物线即可求出m的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰直角三角形的相关知识，掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°，以及对二次函数的图象的理解，了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．