Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝9，点P为AD边上点，沿BP折叠△ABP，点A的对应点为E，若点E到矩形两条较长边的距离之比为1：4，则AP的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

分点E在矩形内部，EM：EN＝1：4，或EM：EN＝4：1，点E在矩形外部，EN：EM＝1：4，三种情况讨论，根据折叠的性质和勾股定理可求AP的长度．

解：过点E作ME⊥AD，延长ME交BC与N，

∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，且ME⊥DA

∴EN⊥BC 且∠A＝90°＝∠ABC＝90°

∴四边形ABNM是矩形

∴AB＝MN＝5，AM＝BN

若ME：EN＝1：4，如图1

∵ME：EN＝1：4，MN＝5

∴ME＝1，EN＝4

∵折叠

∴BE＝AB＝5，AP＝PE

在Rt△BEN中，BN＝＝3

∴AM＝3

在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2

AP2＝（3﹣AP）2+1

解得AP＝

若ME：EN＝4：1，则EN＝1，ME＝4，如 图2

在Rt△BEN中，BN＝＝2

∴AM＝2

在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2

AP2＝（2﹣AP ）2+16

解得AP＝

若点E在矩形外，如图

∵EN：EM＝1：4

∴EN＝，EM＝

在Rt△BEN中，BN＝＝

∴A＝

在Rt△PME中，PE2＝ME2+PM2

AP2＝（AP﹣）2+（）2

解得：AP＝5

故答案为，，5.