Question

【题目】如图1，一张△ABC纸片，点M、N分别是AC、BC上两点．（均只需写出结论即可）

（1）若沿直线MN折叠，使C点落在BN上，则∠AMC′与∠ACB的数量关系是　 　 　．

（2）若折成图2的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系是　 　．

（3）若折成图3的形状，猜想∠AMC′、∠BNC′和∠ACB的数量关系是　 　．

（4）将上述问题推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABNM的内部时，∠AMD′+∠BNC′与∠C、∠D之间的数量关系是　 　　　　　．

Answer 1

【答案】(1) ∠AMC′＝2∠ACB；（2）∠AMC′＋∠BNC′＝2∠ACB；（3）∠AMC′－∠BNC′＝2∠ACB；　　（4）∠AMD′+∠BNC′＝2(∠C＋∠D－180°).

【解析】试题分析：（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；

（2）先根据折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，由两个平角∠CMA和∠CNB得：∠AMC′+∠′BNC′等于360°与四个折叠角的差，化简为结果；

（3）利用两次外角定理得出结论；

（4）与（2）类似，先由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，再由两平角的和为360°得：∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，根据四边形的内角和得：∠DMN+∠CNM=360°﹣∠C﹣∠D，代入前式可得结论．

试题解析：解：（1）由折叠得：∠ACB=∠MC′C，∵∠AMC′=∠ACB+∠MC′C，∴∠AMC′=2∠ACB；

故答案为：∠AMC′=2∠ACB；

（2）猜想：∠AMC′+∠BNC′=2∠ACB，理由是：

由折叠得：∠CMN=∠C′MN，∠CNM=∠C′NM，∵∠CMA+∠CNB=360°，∴∠AMC′+∠′BNC′=360°﹣∠CMN﹣∠C′MN﹣∠CNM﹣∠C′NM=360°﹣2∠CMN﹣2∠CNM，∴∠AMC′+∠BNC′=2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）=2∠ACB；

（3）∵∠AMC′=∠MDC+∠C，∠MDC=∠C′+∠BNC′，∴∠AMC′=∠C′+∠BNC′+∠C，∵∠C=∠C′，∴∠AMC′=2∠C+∠BNC′，∴∠AMC′﹣∠BNC′=2∠ACB；

（4）由折叠得：∠DMN=∠D′MN，∠CNM=∠C′NM，∵∠DMA+∠CNB=360°，∴∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2∠DMN﹣2∠CNM，∵∠DMN+∠CNM=360°﹣∠C﹣∠D，∴∠AMD′+∠BNC′=360°﹣2（360°﹣∠C﹣∠D）=2（∠C+∠D-180°），故答案为：∠AMD′+∠BNC′=2（∠C+∠D﹣180°）．