Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（,0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1.

（1）直接写出抛物线的解析式 ：

（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；

（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（0，0），（2，4）；（3）存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点E、F的坐标为：或.

【解析】

试题（1）先求得B点的坐标，然后根据待定系数法交点抛物线的解析式：

∵A（，0），对称轴为直线x=1，∴B（4，0）.

把A（，0），B（4，0）代入抛物线的表达式得：

，解得：.

∴抛物线的解析式为：.

（2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标.

（3）分AC为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可．

试题解析：解：（1）.

（2）∵抛物线的解析式：，

∴当x=0时，y=4. ∴点C（0，4）.

∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C关于x=1的对称点C′的坐标为（2，4）.

∴点C向右平移了2个单位长度.

∴则点A向右平移后的点A′的坐标为（0，0）.

∴点A′，C′的坐标分别分（0，0），（2，4）.

（3）存在．

设F（x，）．

若以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，则：

①AC为平行四边形的边，如答图1，

ⅰ）若CFEA为平行四边形，

则CF1∥AE1且CF1=AE1，

此时，E1，F1分别与点A′、C′重合，与题意不符，舍去.

ⅱ）若CEFA为平行四边形，则AC∥FE且AC=FE，

过点F2作F2D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E2DF2，

∴DE=2，DF2=4．

∴，解得：．

∴.

∴．

②若AC为平行四边形的对角线，如答图2．

则CF4∥E4A且CF4=E4A，

∴F4（2，4），E4（，0）.

此时， F4与点C′重合，与题意不符，舍去.

综上所述，存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点E、F的坐标为：或.