Question

【题目】若存在正常数a，b，使得x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，则称f（x）为“限增函数”．给出下列三个函数：①f（x）=x2+x+1；② ；③f（x）=sin（x2），其中是“限增函数”的是（ ）
A.①②③
B.②③
C.①③
D.③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：对于①，f（x+a）≤f（x）+b可化为：（x+a）2+（x+a）+1≤x2+x+1+b， 即2ax≤﹣a2﹣a+b，即x≤ 对一切x∈R均成立，
由函数的定义域为R，故不存在满足条件的正常数a、b，故f（x）=x2+x+1不是“限增函数”；
对于②，若f（x）= 是“限增函数”，则f（x+a）≤f（x）+b可化为： ≤ +b，
∴|x+a|≤|x|+b2+2b 恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b2+2b ，∴ ≥ ，
显然当a＜b2时式子恒成立，∴f（x）= 是“限增函数”；
对于③，∵﹣1≤f（x）=sin（x2）≤1，∴f（x+a）﹣f（x）≤2，
∴当b≥2时，a为任意正数，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x2）是“限增函数”．
故选B．
【考点精析】通过灵活运用全称命题，掌握全称命题：，，它的否定：，;全称命题的否定是特称命题即可以解答此题．