Question

【题目】如图1，，点是直线、之间的一点，连接、.

（1）问题发现：

①若，，则___________.

②猜想图1中、、的数量关系，并证明你的结论.

（2）拓展应用：

如图2，，线段把这个封闭区域分为Ⅰ、Ⅱ两部分（不含边界），点是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出、、的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)①60°；②见解析;(2)见解析.

【解析】

(1)①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②根据①的过程可得出结论；

(2)根据题意画出图形，再根据平行线的性质即可得出∠EMB、∠END、∠MEN的关系.

(1)①如图1，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥EF∥CD，

∴∠A=∠1=15°,∠C=∠2=45°，

∴=∠A+∠C=60°，

故答案为：60；

②猜想：．

理由：如图1，过点作，

∵

∴（平行于同一条直线的两直线平行），

∴，（两直线平行，内错角相等），

∴（等量代换）．

(2)当点E位于区域Ⅰ时,∠EMB+∠END+∠MEN=360°，

理由：过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BME+∠MEF=180°,∠DNE+∠NEF=180°，

∴∠EMB+∠END+∠MEN=360°；

当点E位于区域Ⅱ时，∠EMB+∠END=∠MEN，

理由：过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠BMN=∠FEM，∠DNE=∠FEN，

∴∠EMB+∠END=∠MEF+∠NEF=∠MEN.