Question

【题目】【回顾】

如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 ．

【探究】

图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=，请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．

【应用】

在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）．

（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；

（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．

Answer 1

【答案】【回顾】3；【探究】答案见解析；【应用】（1）86+25；（2）点G不是AD的中点．

【解析】试题分析：回顾：如图1中，作AH⊥BC．求出AH即可解决问题；

探究：如图2中，根据S四边形ABCD=BCABsin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH列出方程即可解决问题；

应用：（1）作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．因为EC=EH，推出EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，推出BE+EC的最小值为BH，求出BH即可解决问题；

（2）结论：点G不是AD的中点．理由反证法证明即可．

试题解析：解：由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b．

【回顾】如图1中，作AH⊥BC．

在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，∴AH=ABsin30°=，∴S△ABC=BCAH=×4×=3，故答案为：3．

探究：如图3中，

由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH=a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC=b，∵S四边形ABCD=BCABsin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH

∴b2asin75°=2××a×a+2××b2+（a﹣b）（b﹣a），∴2absin75°=ab+ab，∴sin75°=．

如图4中，

易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，∴S四边形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四边形ABCD，∴（a+b）（a+b）═2××a×a+2××b2+b2asin75°，∴sin75°=．

应用：（1）作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．

在Rt△DCJ中，JC=CDsin75°=，∴CH=2CJ=，在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+=86+25，∵EC=EH，∴EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，∴BE+EC的最小值为BH，∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25．

（2）结论：点G不是AD的中点．

理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

不妨设AG=GD=5，∵CD=5，∴DC=DG，∵DH⊥CG，∴GH=CH=3，在Rt△CDH中，DH= ==4，∵S△DGC=CGDH=DGCJ，∴CJ=，∴sin∠CDJ=，∵∠CDJ=75°，∴与sin75°=矛盾，∴假设不成立，∴点G不是AD的中点．