Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，AE与对角线BD交于点F．

（1）求证：DF=2BF；
（2）当∠AFB=90°且tan∠ABD= 时，若CD= ，求AD长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，

∵点E为BC的中点，

∴BE= BC= AD，

∵AD∥BC，

∴△BEF∽△DAF，

∴ = ，

∴DF=2BF

（2）解：∵CD= ，

∴AB=CD= ，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∴tan∠ABD= = ，

∴设AF=x，则BF=2x，

∴AB= = x= ，

∴x=1，AF=1，BF=2，

∵DF=2BF，

∴DF=4，

∴AD= =

【解析】（1）由平行四边形的性质的出AD∥BC，AD=BC，AB=CD，再据相似三角形的判定定理得△BEF∽△DAF，最后由相似三角形的对应边成比例得出DF=2BF；（2）由平行四边形的性质对边相等得出AB=CD，再Rt△ABF中由锐角三角函数，及勾股定理得出AD的长度。
【考点精析】利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．