Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=90°，AC为直径，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F（靠近点C）作CE的平行线交AB于点G，连结CG．

（1）求证：AB=CD；
（2）求证：CD2=BEBC；
（3）当CG= ，BE= 时，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠BAD=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD；

（2）∵AE为⊙O的切线，

∴AE⊥AC，

∴∠EAB+∠BAC=90°，

∵∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠EAB=∠ACB，

∵∠ABC=90°，

∴△ABE∽△CBA，

∴ ，

∴AB2=BEBC，

由（1）知：AB=CD，

∴CD2=BEBC；

（3）∵F是AC的三等分点，

∴AF=2FC，

∵FG∥BE，

∴△AFG∽△ACB，

∴ =2，

设BG=x，则AG=2x，

∴AB=3x，

在Rt△BCG中，CG= ，

∴BC2=（ ）2﹣x2，

BC= ，

由（2）得：AB2=BEBC，

（3x）2= ，

4x4+x2﹣3=0，

（x2+1）（4x2﹣3）=0，

x=± ，

∵x＞0，

∴x= ，

∴CD=AB=3x= ．

【解析】（1）要证AB=CD,由直径的性质和已知条件可证四边形ABCD是矩形，进而得出结论；（2）等积式CD2=BEBC由于无法构成三角形，因此须转化为AB2=BEBC，变形为,须证△ABE∽△CBA，由已知和直径的性质、切线的性质易证结论；（3）利用（2）的结论建立方程，AB2=BEBC
由已知三等分点AF=2FC，可推出AG=2BG，设出BG=x,得方程（3x）2= ，由（1）得CD=AB=3x=.