Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点， F是CD边上的一点， 且DF=1．若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作点F关于AD的对称点G，过点G作GN⊥AE于点N，交AD于点M，可证得MG=MF，△MDG≌△MDF，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG，根据垂线段最短，可知此时MN+MF的最小值就是NG的长；利用正方形的性质，可求出BE的长，同时可以推出∠B=∠ANM=∠FDM，∠AMN=∠BAE=∠FMD，再利用有两组对应角相等的三角形相似，可证得△ABE∽△MNA∽△FMD，然后利用相似三角形的性质及勾股定理就可求出MN，MG的长，由此看求出NG的长．

作点F关于AD的对称点G，过点G作GN⊥AE于点N，交AD于点M，

∴MG=MF，△MDG≌△MDF，DF=DG=1

∴∠GMD=∠DMF

∴MN+MF=MN+MG=NG

根据垂线段最短，可知此时MN+MF的最小值就是NG的长．

∵正方形BCD，点E是BC的中点

∴BE=BC=AB=2

∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，

∵∠AMN+∠MAN=90°，

∴∠AMN=∠BAE，

∵∠AMN=∠DMG

∴∠AMN=∠BAE=∠FMD

∴△ABE∽△MNA∽△FMD

∴即

解之：MD=2，

∴AM=AD-MD=4-2=2

∴

设AN=x，则MN=2x

∴AN2+MN2=AM2，

∴x2+4x2=4

解之：AN=x=

∴MN=2AN=；

在Rt△MDG中，MG=

∴NG=MN+MG=．

故答案为：．