Question

【题目】如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，所围成的四边形显然是平行四边形．

当四边形是分别菱形、矩形时，相应的平行四边形一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：

四边形	菱形	矩形
平行四边形	________	________

当四边形是矩形时，平行四边形是什么特殊图形，证明你的结论；

反之，当用上述方法所围成的平行四边形是矩形时，相应的原四边形必须满足怎样的条件？（直接写出结论）

Answer 1

【答案】（1）矩形，菱形；（2）当四边形是矩形时，平行四边形是菱形，理由详见解析；（3）当平行四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是对角线互相垂直．

【解析】

（1）原四边形是菱形时，菱形的对角线互相垂直，因此平行四边形应该是个矩形（平行四边形相邻的两边都垂直），
原四边形是矩形时，它的对角线相等，那么平行四边形应该是个菱形（平行四边形相邻的两边都相等）；
（2）根据平行公理的推论求出EF∥GH，EH∥FG，推出平行四边形EFGH，证出邻边相等即可；
（3）根据（1）我们可看出要想使得出的平行四边形是矩形，那么原四边形的对角线就必须垂直，因为只有这样平行四边形的相邻两边才垂直．

（1）四边形ABCD是菱形时，平行四边形EFGH是矩形，
四边形ABCD是矩形时，平行四边形EFGH是菱形，
故答案为：矩形，菱形；

如图所示：

当四边形是矩形时，平行四边形是菱形；

理由：∵，．

∴四边形，均为平行四边形，

∵四边形为矩形，

∴，

∴，

∴四边形为菱形；

当平行四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是对角线互相垂直．