Question

【题目】如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、.下列结论：①；②；③；④.正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，易证得CE⊥DF与AH⊥DF，根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD，AG≠DG，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=AD，根据等腰三角形的性质，即可得∠CHG=∠DAG．则问题得解．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，

∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，

∴BE=CF，

在△BCE与△CDF中，

，

∴△BCE≌△CDF，（SAS），

∴∠ECB=∠CDF，

∵∠BCE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠CDF=90°，

∴∠CGD=90°，

∴CE⊥DF；故①正确；

在Rt△CGD中，H是CD边的中点，

∴HG=CD=AD，

即2HG=AD；故④正确；

连接AH，如图所示：

同理可得：AH⊥DF，

∵HG=HD=CD，

∴DK=GK，

∴AH垂直平分DG，

∴AG=AD；

若AG=DG，则△ADG是等边三角形，

则∠ADG=60°，∠CDF=30°，

而CF=CD≠DF，

∴∠CDF≠30°，

∴∠ADG≠60°，

∴AG≠DG，故②错误；

∴∠DAG=2∠DAH，

同理：△ADH≌△DCF，

∴∠DAH=∠CDF，

∵GH=DH，

∴∠HDG=∠HGD，

∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，

∴∠CHG=∠DAG；故③正确；

正确的结论有3个，

故选C．