Question

【题目】问题探究：

（1）如图①，边长为4的等边△OAB位于平面直角坐标系中，将△OAB折叠，使点B落在OA的中点处，则折痕长为　　；

（2）如图②，矩形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=8，AB=6，将矩形沿线段MN折叠，点B落在x轴上，其中AN=AB，求折痕MN的长；

问题解决：

（3）如图③，四边形OABC位于平面直角坐标系中，其中OA=AB=6，CB=4，BC∥OA，AB⊥OA于点A，点Q（4，3）为四边形内部一点，将四边形折叠，使点B落在x轴上，问是否存在过点Q的折痕，若存在，求出折痕长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；

（2）MN的长为．

（3）折痕的长为5或．

【解析】（1）如图1中，B的对称点B/，折痕为MN，MN交BB/于H. 只要证明折痕是△ABC的中位线即可.

（2）如图2中，B的对称点B/，折痕为MN，MN交BB/于H，求出直线MN的解析式即可解决问题.

（3）存在. 如图3中，延长BQ交OA于B//，连接AQ，过点作Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N，可以证明线段MN计算折痕；作BB//的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B//关于直线PF对称，线段PF也是折痕，分别求出MN、PF即可解决问题.

解：（1）如图1中，B的对称点B′，

折痕为MN，MN交BB′于H．

∵△ABC是等边三角形，OB′=B′A，∴BB′⊥OA，又∵BB′⊥MN，

∴MN∥OA，∵BH=HB′，∴BM=OM，BN=NA，

∴MN是△ABC的中位线，∴MN=OA=2．故答案为2．

（2）如图2中，B的对称点B′，折痕为MN，MN交BB′于H

∵AN=AB=2，∴NB=NB′=4，

在Rt△ANB′中，AB′==2，∴OB′=8﹣2，

∴点B′（8﹣2，0），∵B（8，6），

∴BB′中点H（8﹣，3），∵点N坐标（8，2），

设直线NH解析式为y=kx+b，则有解得，

∴直线NH解析式为y=﹣x+2+，∴点M坐标（0，2+），

∴MN==．

（3）存在．理由：如图3中，延长BQ交OA于B″，连接AQ，过点Q作MN∥OA，交OC于M，交AB于N．

∵Q（4，3），∴N（6，3），∴BN=AN．QB=QB″，

作BB″的垂直平分线PF，交OC于P，交AB于F，此时B、B″关于直线PF对称，满足条件，

在Rt△ABB″中，∵∠BAB″=90°，BQ=QB″，∴AQ=QB，

∴此时B、A（B′）关于直线MN对称，满足条件．∵C（2，6），

∴直线OC解析式为y=3x，∵NM∥OA，BN=NA，∴CM=OM，∴点M（1，3），

∴MN=5，∵B（6，6），B″（2，0），∴可得直线BB″的解析式为y=x﹣3，

∴过点Q垂直BB″的直线PF的解析式为y=﹣x+，

由解得，∴点P（，），F（6，），

∴PF==，综上所述，折痕的长为5或．

“点睛”本题考查四边形综合题、一次函数、勾股定理、线段垂直平分线性质，两条直线垂直k的乘积为-1等知识，解题的关键是灵活待定系数法确定函数解析式，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标，属于中考压轴题.