Question

【题目】如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

①证明：连接OC．

∵OA=OB，AC=CB，

∴OC⊥AB，

∵点C在⊙O上，

∴AB是⊙O切线．

②证明：∵OA=OB，AC=CB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，

∴∠BOC=∠OFD，

∴OC∥DF，

∴∠CDF=∠OCD，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠ADC=∠CDF

（2）

解：作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．

∵ON⊥DF，

∴DN=NF=3，

在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，

∴ON= =4，

∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，

∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，

∴四边形OCMN是矩形，

∴ON=CM=4，MN=OC=5，

在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，

∴CD= = =4 ．

【解析】（1）①欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．②首先证明OC∥DF，再证明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可；
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．