Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF．

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形

（2）

解：EG2= GFAF．

理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF= GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴ ，即DF2=FOAF．

∵FO= GF，DF=EG，

∴EG2= GFAF

（3）

解：如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2= GFAF，AG=6，EG=2 ，

∴20= FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．

解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．

∵DF=GE=2 ，AF=10，

∴AD= =4 ．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴ ，即 = ．

∴GH= ．

∴BE=AD﹣GH=4 ﹣ =

【解析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FOAF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FG∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．