Question

【题目】已知直线y=x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=x2+bx+c经过点A，B．

（1）求抛物线解析式；

（2）点C（m，0）在线段OA上（点C不与A，O点重合），CD⊥OA交AB于点D，交抛物线于点E，若DE=AD，求m的值；

（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，在（2）的条件下，是否存在以点D，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x22x+3（2）-2（3）存在（1，2）或（1，0）

【解析】分析：（1）先求直线与轴和轴的交点坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）根据点C的横坐标为m可得D和E的横坐标都是m，根据解析式表示其纵坐标，计算铅直高度DE的长，利用勾股定理得： 最后根据已知列式可得m的值；
（3）分两种情况：
①以BC为一边，如图1，证明≌，得可得
②当BD为对角线时，如图2，M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时

详解：(1)当x=0时，y=3，

∴B(0,3)，

当y=0时，x+3=0，

x=3，

∴A(3,0)，

把A(3,0),B(0,3)代入抛物线中得：

解得：

∴抛物线的解析式为：

(2)∵CD⊥OA,C(m,0)，

∴

∴

∵AC=m+3,CD=m+3,

由勾股定理得：

∵

∴

(m+3)(m+2)=0，

m1=3(舍),m2=2；

(3)存在，分两种情况：

①以BC为一边，如图1，设对称轴与x轴交于点G，

∵C(2,0)，

∴D(2,1),E(2,3),

∴E与B关于对称轴对称，

∴BE∥x轴，

∵四边形DNMB是平行四边形，

∴BD=MN,BD∥MN，

∵

∴△EDB≌△GNM，

∴NG=ED=2，

∴N(1,2)；

②当BD为对角线时，如图2，

M在抛物线的顶点，N是对称轴与x轴的交点，此时四边形BMDN是平行四边形，

此时N(1,0)；

综上所述,点N的坐标为(1,2)或(1,0).