Question

【题目】如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连结BE，在BE的下方作等边△BEF，连结DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是_____．

Answer 1

【答案】30°

【解析】

连接CF，由条件可以得出∠ABE＝∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出∠BCF＝∠BAD＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，依据当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，可得△BDF的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到∠DBF的度数．

如图，连接CF，

∵△ABC、△BEF都是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，

∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，

∴∠ABE＝∠CBF，

在△BAE和△BCF中，

，

∴△BAE≌△BCF（SAS），

∴∠BCF＝∠BAD＝30°，

如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，

∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，此时△BDF的周长最小，

由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，

∴△DCG是等边三角形，

∴DG＝DC＝DB，

∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，

故答案为：30°．