Question

【题目】ΔABC、ΔCDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、点N分别是线段AD、BE的中点.

（1）证明： AD=BE.（2）求∠DOE的角度。（3）证明：ΔMNC是等边三角形.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）详见解析

【解析】

提示：先证明ΔACD≌BCE(SAS).利用第（1）问证明的结论，用三角形内角和求出∠DOE=60°，易得ΔACM≌ΔBCN(SAS)，从而得到ΔCMN为等边三角形.

证明：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，

∠DCE+∠BCD=∠BCE，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC＝BC

∠ACD＝∠BCE

CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

(2)由（1）知∵△ACD≌△BCE,

∴∠ACD=∠BEC,

∵三角形DCE是等边三角形，

∴∠CED=∠CDE=60°

∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°

∴∠DOE=180°-（∠ADE+∠BED）=60°

(3）∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD=∠CBE，

∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AD=BE，

∴AM=BN，

在△ACM和△BCN中，

AC＝BC

∠CAD＝∠CBE

AM＝BN，

∴△ACM≌△BCN（SAS），

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，

∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，

∴△MNC是等边三角形．