Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动,使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直.

(1)△BDF是什么三角形?请说明理由；

(2)设AD=x,CF=y,试求y与x之间的函数关系式;(不用写出自变量x的取值范围)

(3)当移动点D使EF∥AB时，求AD的长。

Answer 1

【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）y=x1；（3）AD=.

【解析】

（1）由已知可得∠FDB=60°，∠B=60°，从而可得到△BDF是等边三角形．

（2）由∠A=30°，∠ACB=90°可得AB=2BC=2，再将CF=y，BF=1-y，代入即可得出x，y的关系；

（3）当EF∥AB时，∠CEF=30°，∠FED=∠EDA=90°，CF=EF，EF=DF，代入计算即可求得AD的长．

(1)△BDF是等边三角形，证明如下：

∵ED⊥AB,∠EDF=30°,∴∠FDB=60°，

∵∠A=30°,∠ACB=90°,∴∠B=60°，

∴∠DFB=60°，

∴△BDF是等边三角形。

(2)∵∠A=30°,∠ACB=90°，

∴AB=2BC=2，

∵CF=y，

∴BF=1y，又△BDF是等边三角形，

∴BD=BF=1y，

∴x=2(1y)=1+y，

∴y=x1；

(3)当EF∥AB时,∠CEF=30°,∠FED=∠EDA=90°，

∴CF=EF,EF=DF，

∵DF=BF=1y,

∴y= (1y),

∴y=，

∴x=y+1=,即AD=.