Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC,点A的坐标是(4，0)，点B的坐标是(2，3)，点C在x轴的负半轴上,且AC=6.

(1)直接写出点C的坐标.

(2)在y轴上是否存在点P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

(3)把点C往上平移3个单位得到点H，作射线CH,连接BH，点M在射线CH上运动(不与点C、H重合).试探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之间的数量关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】(1)C(-2，0)；(2)点P坐标为(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明见解析.

【解析】

(1)由点A坐标可得OA=4，再根据C点x轴负半轴上，AC=6即可求得答案；

(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根据S△POB=S△ABC，可得OP=6，即可写出点P的坐标；

(3)先得到点H的坐标，再结合点B的坐标可得到BH//AC，然后根据点M在射线CH上，分点M在线段CH上与不在线段CH上两种情况分别进行讨论即可得.

(1)∵A(4，0)，

∴OA=4，

∵C点x轴负半轴上，AC=6，

∴OC=AC-OA=2，

∴C(-2，0)；

(2)∵B(2，3)，

∴S△ABC=×6×3=9，S△BOP=OP×2=OP，

又∵S△POB=S△ABC，

∴OP=×9=6，

∴点P坐标为(0，6)或(0，-6)；

(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，证明如下：

∵把点C往上平移3个单位得到点H，C(-2，0)，

∴H(-2，3)，

又∵B(2，3)，

∴BH//AC；

如图1，当点M在线段HC上时，过点M作MN//AC，

∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，

∴∠HBM=∠BMN，

∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，

∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；

如图2，当点M在射线CH上但不在线段HC上时，过点M作MN//AC，

∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，

∴∠HBM=∠BMN，

∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，

∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；

综上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.