Question

【题目】以四边形ABCD的边AB，AD为边分别向外侧作等边△ABF和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G.

(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是 ；

(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；

(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EB=FD；（2）EB=FD，证明见解析；（3）∠EGD不发生变化．

【解析】

（1）利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性质即可得到EB= FD；

（2）利用长方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△FAD≌△BAE，由全等三角形的性质即可得到EB= FD；

（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不会发生变化，是一个定值，为60°．

解：（1）EB＝FD，

理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD，

∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，

∴AF＝AE，∠FAB＝∠EAD＝60°，

∵∠FAD＝∠BAD+∠FAB＝90°+60°＝150°，

∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+60°＝150°，

∴∠FAD＝∠BAE，

在△AFD和△ABE中，

，

∴△AFD≌△ABE，

∴EB＝FD；

（2）EB＝FD．

证：∵△AFB为等边三角形

∴AF＝AB，∠FAB＝60°

∵△ADE为等边三角形，

∴AD＝AE，∠EAD＝60°

∴∠FAB+∠BAD＝∠EAD+∠BAD，

即∠FAD＝∠BAE

∴△FAD≌△BAE

∴EB＝FD；

（3）解：不会发生改变；

同（2）易证：△FAD≌△BAE，

∴∠AEB＝∠ADF，

设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°

于是有∠BED为（60﹣x）°，∠EDF为（60+x）°，

∴∠EGD＝180°﹣∠BED﹣∠EDF

＝180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°

＝60°．