Question

【题目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系： ；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系： ；

②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD=CF；（2）；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析

【解析】

（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；

（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF=CD+BC，然后求出答案；

（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；
②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．

解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，

（2）与（1）同理，证△BAD≌△CAF；

∴BD=CF，

∴CF=BC+CD，

∵AC=AB=2，CD=1，

∴，

∴CF=；

（3）①BC、CD与CF的关系：CD=BC+CF
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，从而可得：
BD=CF，
即：CD=BC+CF
②△AOC是等腰三角形
理由：与（1）同法可证△BAD≌△CAF，可得：∠DBA=∠FCA，
又∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD为直角三角形．
又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，
∴OC=DF，
∴OC=OA
∴△AOC是等腰三角形．