Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连结BD，DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论： ①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③PF= AB；④ = ．
其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF，故①正确；
∵PC=DC，∠PCD=30°，
∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=75°，
∴PD=DH，
∴△DPH是等腰三角形，故②正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴可得∠FPE=∠PFE=60°，
∴△FEP是等边三角形，
∴△FPE∽△CPB，
∴ = ，
设PF=x，PC=y，则DC=y，
∵∠FCD=30°，
∴y= （x+y），
整理得：（1﹣ ）y= x，
解得： = ，
则PF= AB，故③正确；
如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，

设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PBsin60°=4× =2 ，PM=PCsin30°=2，
S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD
= ×4×2 + ×2×4﹣ ×4×4
=4 +4﹣8=4 ﹣4，
∴ = ，故④正确；
故正确的有4个，
故选：D．