Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将OA2B2变换成△OA3B3；已知变换过程中各点坐标分别为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3），B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标为　 　，B4的坐标为　 　．

（2）按以上规律将△OAB进行n次变换得到△OAnBn，则An的坐标为　 　，Bn的坐标为　 　；

（3）△OAnBn的面积为　 　．

Answer 1

【答案】（1）点A4的坐标为（16，3），点B4的坐标为（32，0）；（2）An的坐标为（2n，3），Bn的坐标为（2n+1，0）；（3）△OAnBn的面积为3×2n．

【解析】

（1）根据题目中的信息可以发现A1、A2、A3各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3，故可求得A4的坐标；B1、B2、B3各点的坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都为0，从而可求得点B4的坐标．

（2）根据（1）中发现的规律可以求得An、Bn点的坐标；

（3）依据An、Bn点的坐标，利用三角形面积计算公式，即可得到结论．

（1）∵A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3），

∴A4的横坐标为：24=16，纵坐标为：3，

故点A4的坐标为：（16，3）；

又∵B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0），

∴B4的横坐标为：25=32，纵坐标为：0，

故点B4的坐标为：（32，0）；

（2）由A1（2，3）、A2（4，3）、A3（8，3），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3．

故An的坐标为：（2n，3）；

由B1（4，0）、B2（8，0）、B3（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n+1，纵坐标都是0，

故Bn的坐标为：（2n+1，0）；

（3）∵An的坐标为：（2n，3），Bn的坐标为：（2n+1，0），

∴△OAnBn的面积为×2n+1×3=3×2n．