Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数 经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（4﹣2 ）的圆内切于△ABC，则k的值为 ．

Answer 1

【答案】4
【解析】解：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N；
设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函数 经过正方形AOBC对角线的交点，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形HQEC是正方形，
∵半径为（4﹣2 ）的圆内切于△ABC，
∴DO=CD，
∵HQ2+HC2=QC2 ，
∴2HQ2=QC2=2×（4﹣2 ）2 ，
∴QC2=48﹣32 =（4 ﹣4）2 ，
∴QC=4 ﹣4，
∴CD=4 ﹣4+（4﹣2 ）=2 ，
∴DO=2 ，
∵NO2+DN2=DO2=（2 ）2=8，
∴2NO2=8，
∴NO2=4，
∴DN×NO=4，
即：xy=k=4．
所以答案是：4．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正方形的性质和三角形的内切圆与内心的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心．