Question

【题目】已知，如图1在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F．

（1）若BF=5，DC=3，求AB的长；
（2）在图1上过点F作BE的垂线，过点A作AB的垂线，链条垂线交于点G，连接BG，得如图2．
①求证：∠BGF=45°；
②求证：AB=AG+ AF．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，△ADB是等腰直角三角形，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF=∠BDF=90°，

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠EAF=∠FBD，∵∠BDF=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴DF=DC=3，

在Rt△BDF中，BD= =4，

∴AB= BD=4

（2）①证明：如图2中，设AB交GF于O．

∵∠GAO=∠OFB=90°，∠AOG=∠BOF，

∴△AOG≌△FOB，

∴ = ，

∴ = ，∵∠BOG=∠AOF，

∴△BOG∽△FOA，

∴∠BGO=∠OAF=45°，

∴∠BGF=45°．

②证明：如图2中，在AB上截取AM=AG，则∠MGA=∠BGF=45°，

∴∠BCM=∠FCA，

∵BC= FG，GM= AC，

∴ = = ，

∴△BGM∽△FGA，

∴ = = ，

∴BM= AF，

∴AB=AM+BM=AG+ AF．

【解析】①根据题意得到△ADB是等腰直角三角形，得到AD=BD，得到△BDF≌△ADC，得到DF=DC=3，根据勾股定理求出BD =4，得到AB= BD=4 ；②在AB上截取AM=AG，则∠MGA=∠BGF=45°，得到∠BCM=∠FCA，得出△BGM∽△FGA，求出BM= AF，求出AB=AM+BM=AG+ AF．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．