Question

【题目】如图（1），平面直角坐标系中，一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，且S△OAB=3，点C的坐标为（﹣2，﹣3）．

（1）求A，B的坐标；
（2）如图（1）若点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，求△ABC的面积和点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图（2），将线段AC沿直线AB平移，点A的对应点为A1 ， 点C的对应点为C1 ， 连接A1D，C1D，当△A1C1D直角三角形时，求A1的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，

∴当x=0时，y=1，

∴点A的坐标为（0，1），

∴OA=1

∵S△OAB=3，

∴ |xB|OA=3，

∴|xB|=6，

∵点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，

∴B的横坐标为：﹣6，

则y=﹣（﹣6）+1=7，

∴点B的坐标为：（﹣6，7）

（2）解：如图1，过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴于点F，交BE于点E，

∵点C的坐标为（﹣2，﹣3），

∴BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，

∴S△ABC=S梯形ABEF﹣S△ACF﹣S△BEC= ×（4+10）×6﹣ ×4×2﹣ ×10×4=18；

∵点D是线段BC上一点，且三角形ABD的面积是三角形ABC的一半，

∴点D是BC的中点，

∴点D的坐标为：（﹣4，2）

（3）解：如图2，∵A（0，1），C（﹣2，﹣3），

∴由平移可知：点C是点A向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得，

设A1（x，﹣x+1），则C1（x﹣2，﹣x+1﹣4），即（x﹣2，﹣x﹣3），

当△A1C1D直角三角形时，分三种情况：

①当∠DA1C1=90°时，如图2，由勾股定理得： = ，

∴（x+4）2+（﹣x+1﹣2）2+（x﹣2﹣x）2+（﹣x﹣3+x﹣1）2=（x﹣2+4）2+（﹣x﹣3﹣2）2

解得：x=2，

∴A1（2，﹣1）；

②当∠A1C1D=90°时，如图3，由勾股定理得： ，

∴（x﹣2﹣x）2+（﹣x﹣3+x﹣1）2+（x﹣2+4）2+（﹣x﹣3﹣2）2=（x+4）2+（﹣x+1﹣2）2，

解得：x=﹣8，

∴A1（﹣8，9）；

③当∠A1DC1=90°时，如图4和图5，由勾股定理得：A1D2+C1D2=A1C12，

∴（x+4）2+（﹣x+1﹣2）2+（x﹣2+4）2+（﹣x﹣3﹣2）2=（x﹣2﹣x）2+（﹣x﹣3+x﹣1）2，

2x2+12x+13=0，

解得：x= ，

∴A1（ ， ）或（ ， ）；

综上所述，点A1的坐标为：（2，﹣1）或（﹣8，9）或（ ， ）或（ ， ）

【解析】①一次函数y=﹣x+1的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，1），点B是第二象限一次函数y=﹣x+1的图象上一点，得到B的横坐标为﹣6，求出点B的坐标为：（﹣6，7）；②过点B作BE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴于点F，交BE于点E，点C的坐标为（﹣2，﹣3），求出BE=10，EF=6，EC=4，CF=2，AF=4，S△ABC=S梯形ABEF﹣S△ACF﹣S△BEC=18，求出点D的坐标为：（﹣4，2）；③由平移可知：点C是点A向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得，当△A1C1D直角三角形时，分三种情况当∠DA1C1=90°时，如图2，由勾股定理得： A 1 D 2 + A 1 C 1 2 = D C 1 2 ，求出A1（2，﹣1）；当∠A1C1D=90°时，由勾股定理得x=﹣8，得到A1（﹣8，9）；当∠A1DC1=90°时，由勾股定理求出x的值，得到A1的坐标.