Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+2xa+c经过A（﹣4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y=x+5与x轴交于点D，与y轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF=EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得 ，解得 ，

所以抛物线解析式为y=﹣ x2﹣x+4

（2）

解：如图1，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为A′、B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，

由直线DE的解析式为：y=x+5，则E（0，5），

∴OE=5，

∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，

∴∠EPA′=∠OEF，

∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，

∴△PEA′≌△EFB′，

∴PA′=EB′=﹣t，

则d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+t

（3）

解：如图2，由直线DE的解析式为：y=x+5，

∵EH⊥ED，

∴直线EH的解析式为：y=﹣x+5，

∴FB′=A′E=5﹣（﹣ t2﹣t+4）= t2+t+1，

∴F（ t2+t+1，5+t），

∴点H的横坐标为： t2+t+1，

y=﹣ t2﹣t﹣1+5=﹣ t2﹣t+4，

∴H（ t2+t+1，﹣ t2﹣t+4），

连接PH交y轴于A′，

∴P与H的纵坐标相等，

∴PH∥x轴，

∴∠HPQ=∠PQD，∠PGH=∠QGD，

∵DG=GH，

∴△PGH≌△QGD，

∴PH=DQ，

∵A（﹣4，0），C（2，0），

∴Q（﹣1，0），

∵D（﹣5，0），

∴DQ=PH=4，

∴﹣t+ t2+t+1=4，

t=± ，

∵P在第二象限，

∴t＜0，

∴t=﹣ ，

∴F（4﹣ ，5﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE=EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′=EB′，则d=FM=OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意PA′=﹣t；（3）如图2，根据直线EH的解析式表示出点F的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则PH与x轴平行，证明△PGH≌△QGD，得PH=DQ=4，列式可得t的值，求出t的值并取舍，计算出点F的坐标．也可以利用线段中点公式求出结论．