Question

【题目】已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）

（2）解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，

理由：∵△DOE≌△BOF，

∴OE=OF，

又∵OB=OD

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵∠EOD=90°，

∴EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形．

【解析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．
【考点精析】掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．