Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于点A（4，0），与轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求的值和直线AB的函数表达式；

（2）在P点运动的过程中，请用含m的代数式表示线段PN；

（3）设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若，求m的值；

（4）如图2，在（3）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；直线AB解析式为y=；（2）PN=m2+3m ；（3）2；（4）

【解析】试题解析：（1）（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题；（3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是的最小值；

试题分析：

（1）∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），

∴a=﹣． ……………………………………………2分

∵A（4，0），B（0，3），

设直线AB解析式为y=kx+b，则，

解得，

∴直线AB解析式为y=﹣x+3 ……………………………………………4分

设点P（m,﹣m2+m+3）

点N在直线AB上则N（）

∴PN=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m ………………………………6分

（3）如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE， ……………………………………………8分

∴=，

∵NE∥OB，

∴=，

∴AN=（4﹣m），

∵PN=﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

∴=，

解得m=2 ……………………………………………10分

（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′交PE于E′，

∵OE′=2，OM′OB=×3=4，

∴OE′2=OM′OB，

∴=，∵∠BOE′=∠M′OE′，

∴△M′OE′∽△E′OB，

∴==，

∴M′E′=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），

最小值=AM′==。