Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A，与x轴交于点B、C（点B在点C左侧），且OA=OC=4OB．
（1）求a，b的值；
（2）连接AB、AC，点P是抛物线上第一象限内一动点，且点P位于对称轴右侧，
过点P作PD⊥AC于点E，分别交x、y轴于点D、H，过点P作PG∥AB交AC于点F，交x轴于点G，设P（x，y），线段DG的长为d，求d与x之间的函数关系（不要求写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当时，连接AP并延长至点M，连接HM交AC于点S，点R是抛物线上一动点，当△ARS为等腰直角三角形时．求点R的坐标和线段AM的长．

Answer 1

【答案】解：（1）y=ax2+bx+4，当x=0时，y=4，
∴A（0，4）
∵OC=OA=4OB，
∴OC=4，OB=1，
∴C（4，0），B（﹣1，0）
将C（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线y=ax2+bx+4
得：，解得：
∴a=﹣1 b=3．
（2）如图1，作PK⊥x轴于点K．

∵a=﹣1 b=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4．
设点P的坐标为（x，y）
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，
∵AC⊥PD，
∴∠EDC=45°，
∵PK⊥x轴，
∴△PDK为等腰直角三角形，
∴PK=DK=y，
∵AB∥PG，
∴∠ABO=∠PGK，
∵tan∠ABO==4，
∴tan∠PGK==4
∴GK=PK=y
∴d=DK﹣GK=y﹣y=y，
将y=﹣x2+3x+4代入得：d=（﹣x2+3x+4）=-．
（3）如图2所示：过点P作PK⊥x轴，垂足为K，PK交于AC与N．

∵
∴．
设点P的坐标为（x，y）．
∵CK=NK=4﹣x
∴PN=y﹣4+x
∴PE=PN=(y-4+x)，PD=PK=y
∴，．
将y=﹣x2+3x+4代入得：．
整理得：x2﹣7x+12=0．
解得：x1=3，x2=4（舍去）．
∴P（3，4）
∵DK=PK=4，
∴D（﹣1，0）．
∴点D、B重合．
∵△BOH为等腰直角三角形，
∴OH=OB=1．
∴AH=3．
如图3所示：∠RAS=90°时．

设点R（a，﹣a2+3a+4）
∵△ARS为等腰直角三角形
∴∠RAS=90°，∠ARS=45°
∵AP∥x轴
∴∠PAC=∠ACO=45°．
∴∠RAP=45°．
∴RS⊥AM．
∴AL=LS，AL=LR．
∴a=﹣a2+3a+4﹣4．
∴a=2．
∴R（2，6）．
在Rt△LMS中tan∠M=，在Rt△AHM中tan∠M=
∴=．
∴
∴LM=4
∴AM=6．
当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS不能构成等腰直角三角形．
综上所述，AM的长为6．
【解析】（1）将x=0代入求得y=4，从而得到点A的坐标为（0，4），由OA=OC=4OB可求得C（4，0），B（﹣1，0），然后将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可求得a=﹣1，b=3；
（2）作PK⊥x轴于点K．由题意可知△AOC为等腰直角三角形，于是得到∠ACO=45°，由AC⊥PD可证明∠EDC=45°，从而得到△PDK为等腰直角三角形，故此PK=DK=y，由AB∥PG可知∠ABO=∠PGK，由锐角三角函数的定义可知==4，从而得到GK=PK=y，由d=DK﹣GK可求得d=-；
（3）如图2所示：过点P作PK⊥x轴，垂足为K，PK交于AC与N．由题意可知： ， 设点P的坐标为（x，y），由△NKC为等腰直角三角形可知CK=NK=4﹣x，由PN=PK﹣KN可知PN=y﹣4+x，由△PEN为等腰三角三角形可知PE=PN=(y-4+x)，由△PBK为等腰直角三角形可知PD=PK=y，从而可得到 ， 将y=﹣x2+3x+4代入得： ． 解得：x1=3，x2=4（舍去）于是可求得P（3，4），从而得打D（﹣1，0），故此点D、B重合，由△BOH为等腰直角三角形，可求得AH=3．如图3所示：∠RAS=90°时．设点R（a，﹣a2+3a+4）由△ARS为等腰直角三角形，可证明RS⊥AM，从而得到AL=LS，AL=LR，故此a=﹣a2+3a+4﹣4可求得R（2，6）．由锐角三角函数的定义可知：= ， 从而得到 ， 解得LM=4，于是可求得AM=6；当∠ARS=90°和∠ASR=90°时，△ARS不能构成等腰直角三角形，故此AM的长为6．