Question

【题目】如图，已知直线与双曲线交于、两点，且点的横坐标为4.

（1）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；

（2）过原点的另一条直线交双曲线于，两点（点在第一象限），若由点，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点的坐标为或.

【解析】

（1）将x=4代入一次函数解析式求出y的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式；将C纵坐标代入反比例解析式求出横坐标，确定出C坐标，即CD与OD的长，三角形AAOC面积=三角形COD面积+梯形AEDC面积-三角形AOE面积，求出即可；

（2）设，即OM=m，PM=，分两种情况考虑：若P在A的左侧，如图所示，作PM⊥x轴，AN⊥x轴，由四边形APBQ面积为24，且为平行四边形，得到三角形AOP面积为6，根据三角形POM面积+梯形ANMP面积-三角形AON面积，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出此时P的坐标；若P在A的右侧，同理可得P的坐标．

（1）∵点的横坐标为4

∴把代入中，得

∴

∵点是直线与双曲线的交点

∴

∴双曲线的解析式为

如图所示，过点、分别作轴的垂线，垂足为、

∵点在双曲线上

∴当时，

∴点的坐标为

∵点、在双曲线上

∴

∴

∴

∵

∴

（2）∵反比例函数图像是关于原点的中心对称图形

∴，

∴四边形是平行四边形

∴

设点的横坐标为（且）

∴

过点、分别作轴的垂线，垂足为、

∵点、在双曲线上

∴

若，如图所示：

∵

∴

即

∴，（舍去）

∴

若，如图所示：

∵

∴

即

∴，（舍去）

∴

∴点的坐标为或.