Question

【题目】如图，平行四边形的对角线、相交于点O，．

（1）如图1，过B作于E，若，，求的长；

（2）如图2，若，过点C作交于点F，过点B作且，连接．求证：．

Answer 1

【答案】（1）-4；（2）见解析．

【解析】

（1）由勾股定理可求CE的长，由平行四边形的性质可得CO的长，即可求OE的长；
（2）延长CF交AB于点H，由“SAS”可证△ABG≌△FCB，可得AG=BF，由等腰三角形的性质可得AB=CD=2BH，再证明三角形BFH为等腰直角三角形，从而得出BF=BH①；在Rt△CDF中，得出DF=CD=AB=2BH，继而得出OF=BO-BF=BH②，结合①②可得出结论．

（1）解：∵BC=AC=8，BE=5，，
∴CE=．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=4，
∴OE=EC-OC=-4；

（2）证明：如图，延长CF交AB于点H，

∵CF⊥CD，∠BDC=45°，
∴∠BDC=∠DFC=45°，
∴∠FBC+∠FCB=45°，CF=CD，
∵BC⊥BG，∠ABD=∠BDC=45°，
∴∠GBA+∠FBC=45°，
∴∠ABG=∠BCF，且AB=CD=CF，BC=BG，
∴△ABG≌△FCB（SAS），
∴AG=BF．
∵∠ABG+∠ABC=90°，∴∠BCF+∠ABC=90°，
∴CH⊥AB，又AC=BC，∴BH=AH，∴AB=CD=2BH．

∵AB∥CD，

∴∠ABF=∠CDB=45°，

∴∠HBF=∠BFH=45°，∴BH=FH，

∴BF=BH①．
在Rt△CDF中，CD=CF，∴DF=CD=AB=2BH，

∴BD=BF+DF=BH +2BH=3BH，

∴BO=BD=BH，

∴OF=BO-BF=BH②，

∴由①②得，BF=2OF，

∴AG=2OF．