Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC内一点，AD=BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点 E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．

（1）若BD=DE=，CE=，求BC的长；

（2）若BD=DE，求证：BF=CF．

Answer 1

【答案】（1）BC=2；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）利用勾股定理求出BE的长，进而再次利用勾股定理求出BC的长；
（2）连接AF，首先利用ASA证明出△BDF≌△EDC，得到，进而得到∠ADF=∠BDC，再次利用SAS证出△ADF≌△BDC，结合题干条件得到AF⊥BC，利用等腰三角形的性质得到结论．

试题解析：(1)∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，

∴

∵

∴

∵BC⊥CE，

∴

∴

(2)连接AF，

∵CD⊥BD，DF⊥CD，

∴

∴∠BDF=∠CDE，

∵CE⊥BC，

∴

∴∠DBC=∠CED，

在△BDF和△EDC中，

∵

∴△BDF≌△EDC(ASA)，

∴DF=CD，

∴

∵∠ADB=∠CDF，

∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，

∴∠ADF=∠BDC，

在△ADF和△BDC中，

∵

∴△ADF≌△BDC(SAS)，

∴∠AFD=∠BCD，

∴

∴

∴AF⊥BC，

∴AB=AC，

∴BF=CF.