Question

【题目】如图，已知二次函数y=x2+x﹣的图象与x轴交于点 A，B，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D．

（1）求抛物线顶点 D 的坐标以及直线 AC 的函数表达式；

（2）点 P 是抛物线上一点，且点P在直线 AC 下方，点 E 在抛物线对称轴上，当△BCE 的周长最小时，求△PCE 面积的最大值以及此时点 P 的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点 P 且平行于 AC 的直线分别交x轴于点 M，交 y 轴于点N，把抛物线y=x2+x﹣沿对称轴上下平移，平移后抛物线的顶点为 D'，在平移的过程中，是否存在点 D'，使得点 D'，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，若存在，直接写出点 D'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）顶点D的坐标为（﹣1，﹣），直线AC的解析式为y=﹣x﹣；（2）当t=﹣时，△PEC的面积最大，最大值是，此时，点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）存在点 D'，使得点 D'，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，D′点的坐标为（﹣1， ）（﹣1， ），（﹣1， ），（﹣1， ）.

【解析】试题分析：（1）根据配方法，可得顶点坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线的性质，线段的性质，可得E的坐标，根据平行于y的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得关于d的方程，根据解方程，可得答案．

试题解析：

（1）y=x2+x﹣=（x+1）2﹣，顶点D的坐标为（﹣1，﹣），

当y=0时， x2+x﹣=0，解得x1=﹣3，x2=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）．

当x=0时，y=﹣，

∴C（0，﹣），

∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣

（2）∵△CPE得周长为BC+CE+BE，其中BC的长是固定的，

∴周长取得最小值就是BE+CE取得最小值，

∵点E是抛物线对称轴上一点，

∴BE=AE，

∴BE+CE=AE+CE，

∴BE+CE的最小值是AC，点E是AC与对称轴的交点．

∴点E为（﹣1，﹣）．

∵点P是抛物线上x轴下方一点，设点P为（t， t2+t﹣）．且t2+t﹣＜0．

过点P作QP⊥x轴交直线AC于点Q，点Q坐标为（t，﹣t﹣）．

当点p在对称轴左侧时，S△PCE=S△PCQ﹣S△PEQ=PQ（0﹣t）﹣PQ（﹣1﹣t）=PQ，

当点P在对称轴的右侧时，S△PCE=S△PCQ+S△PEQ=PQ（0﹣t）+PQ[t﹣（﹣1）]= PQ，

∵PQ=（﹣t﹣）﹣（t2+t﹣）=﹣t2﹣t，

∴S△PCE=PQ=﹣t2﹣t=﹣（t+）2+ ．

当t=﹣时，△PEC的面积最大，最大值是，此时，点P的坐标为（﹣，﹣）；

（3）经过点P且平行于AC的直线MN的解析式为y=﹣x﹣，

当x=0时，y=－，即N（0，﹣），当y=0时，x=﹣，即M（﹣，0），

设点D′的坐标为（﹣1，d），则MN2=（﹣）2+（﹣）2=，MD′2=[﹣﹣（﹣1）]2+d2=+d2，ND′2=（﹣1）2+（﹣﹣d）2=d2+d+．

当∠MD′N=90°时，MD′2+ND′2=MN2，即+d2+d2+d+=，

整理，得4d2+7d﹣17=0，解得d1=，d2=，

当∠NMD′=90°时，MD′2=ND′2+MN2，即+d2=d2+d++，

化简，得d=﹣，解得d=﹣，

当∠NMD′﹣90°时，ND′2=MD′2+MN2， 即d2+d+=+d2+，

化简，得d=，解得d=，

∴存在点 D'，使得点 D'，M，N 三点构成的三角形为直角三角形，D′点的坐标为（﹣1， ）（﹣1， ），（﹣1， ）（﹣1）．