Question

【题目】已知：A是以BC为直径的圆上的一点，BE是⊙O的切线，CA的延长线与BE交于E点，F是BE的中点，延长AF，CB交于点P．

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AF=3，BC=8，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AB，OA，OF；

∵F是BE的中点，

∴FE=BF．

∵OB=OC，

∴OF∥EC．

∴∠C=∠POF．

∴∠AOF=∠CAO．

∵∠C=∠CAO，

∴∠POF=∠AOF．

∵BO=AO，OF=OF，

∴∠OAP=∠EBC=90°．

∴PA是⊙O的切线

（2）解：∵BE是⊙O的切线，PA是⊙O的切线，

∴BF=AF=3，

∴BE=6．

∵BC=8，∠CBE=90°，

∴CE=10．

∵BE是⊙O的切线，

∴EB2=AEEC．

∴AE=3.6．

【解析】（1）要想证PA是⊙O的切线，只要连接OA，求证∠OAP=90°即可；（2）先由切线长定理可知BF=AF，再在RT△BCE中根据勾股定理求出CE，最后由切割线定理求出AE的长．
【考点精析】本题主要考查了切线的判定定理的相关知识点，需要掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．