Question

【题目】定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”．

（直角三角形中的“恰等中线”）

（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝2，AM为△ABC的中线．求证：AM是“恰等中线”．

（等腰三角形中的“恰等中线”）

（2）已知，等腰△ABC是“恰等三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的平方．

（一般三角形中的“恰等中线”）

（3）如图2，若AM是△ABC的“恰等中线”，则BC2，AB2，AC2之间的数量关系为 ．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）600或320；（3）.

【解析】

（1）根据“恰等中线”的定义和勾股定理，判定即可；

（2）利用“恰等三角形”的定义，分类讨论：①若腰上的中线为“恰等中线”，过B作腰AC边上的高，利用勾股定理即可求出BC2；②若底的中线为“恰等中线”，利用勾股定理求BC2即可；

（3）过A作AD⊥BC，交BC于点D，再利用勾股定理列等式即可.

解：（1）∵BC＝2，AM为△ABC的中线

∴CM=

在Rt△AMC中，

AM=，

∴AM=BC

∴AM是“恰等中线”．

（2）①若腰上的中线为“恰等中线”，假设BD是“恰等中线”，过B作BN⊥AC，如图所示：

∵AB=AC=20，BD是AC的“恰等中线”

∴BD=AC=20，AD=DC=10

∴△ABD为等腰三角形，

∵BN⊥AC

∴AN=DN=

∴

NC=ND＋DC=15

∴

②若底的中线为“恰等中线”，如下图所示AD为“恰等中线”，设

∴AD=BC，且BD=CD=

∵AB=AC=20

∴AD⊥BC

在Rt△ABD中

解得：

综上所述：或320.

（3）过点A作AD⊥BC交BC于D，

∵AM是△ABC的“恰等中线”

∴AM=BC，BM=CM=

在Rt△ABD，Rt△AMD和Rt△ACD中

，，

∴ ，

由①②变形得：

将③＋④得：

=

=

将AM=BC，BM=CM=代入得：

∴