Question

【题目】我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

（1）概念理解:

如图1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由.

（2）问题探究:

如图2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结交直线于点.若点是的重心,求的值.

（3）应用拓展:

如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点在直线上,有一边的长是的倍.将绕点按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点.求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的值为,,2

【解析】（1）过点A作AD⊥直线CB于点D，可以得到AD=BC=3，即可得到结论；

（2）根据 ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，得到AD=BC， 再由 ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， 得到 ∠ADC=90°，由重心的性质，得到BC=2BD．设BD=x，则AD=BC=2x， CD=3x ，由勾股定理得AC=x，即可得到结论；

（3）分两种情况讨论即可：①当AB=BC时，再分两种情况讨论；

②当AC=BC时，再分两种情况讨论即可．

（1）是．理由如下：

如图1，过点A作AD⊥直线CB于点D，

∴ΔADC为直角三角形，∠ADC=90°．

∵ ∠ACB=30°，AC=6，∴ AD=AC=3，

∴ AD=BC=3，

即ΔABC是“等高底”三角形．

（2）如图2， ∵ ΔABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD=BC，

∵ ΔA′BC与ΔABC关于直线BC对称， ∴ ∠ADC=90°．

∵点B是ΔAA′C的重心， ∴ BC=2BD．

设BD=x，则AD=BC=2x，∴CD=3x ，

∴由勾股定理得AC=x，

∴．

（3）①当AB=BC时，

Ⅰ．如图3，作AE⊥l1于点E， DF⊥AC于点F．

∵“等高底” ΔABC的“等底”为BC，l1//l2，

l1与l2之间的距离为2， AB=BC，

∴BC=AE=2，AB=2，

∴BE=2，即EC=4，∴AC= ．

∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，∴∠CDF=45°．

设DF=CF=x ．

∵l1//l2，∴∠ACE=∠DAF，∴，即AF=2x．

∴AC=3x=，可得x=，∴CD=x=．

Ⅱ．如图4，此时ΔABC是等腰直角三角形，

∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA' B' C，

∴ ΔACD是等腰直角三角形，

∴ CD=AC=．

②当AC=BC时，

Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形．

∵ ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C，

∴A′C⊥l1，∴CD=AB=BC=2．

Ⅱ．如图6，作AE⊥l1于点E，则AE=BC，

∴AC=BC=AE，∴∠ACE=45°，

∴ΔABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到ΔA′ B′C时，

点A′在直线l1上，

∴A′C∥l2，即直线A′ C与l2无交点．

综上所述：CD的值为，，2．