【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点，的坐标分别为、，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，连接并延长交于点，过点作，交于点，连接，当动点运动了秒时．

（1）点的坐标为________，点的坐标为________（用含的代数式表示）；

（2）记的面积为，求与的函数关系式，并求出当取何值时，有最大值，最大值是多少？

（2）在出发的同时，有一动点从点开始在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，试求当为何值时，与相似．

参考答案：

【答案】(1)，;(2)3;(3)或.

【解析】

（1）本题关键是求N的坐标，有了N的坐标也就求出了P的坐标，我们不难发现M，N关于原点对称，因此只要求出M的坐标就求出了N的坐标，我们看M的坐标，我们知道M的速度，可以用时间t表示出BM的长，那么OB-BMsin∠BAC就是M的纵坐标，BMsin∠ABP就是M的横坐标，∠BAC和∠ABP的正弦值可以在△AOB中求出因此就能求出M、N、P的坐标了；（2）可以把NP当做△MNP的底边，那么它的长度就是N点横坐标的绝对值，而NP边上的高就是M、P纵坐标的差的绝对值，因此可根据三角形的面积公式得出关于S，t的函数关系式；（3）要分情况讨论：因为两个三角形公用了∠BAO因此只要看看另外的△MQA中另外的两个角哪个当直角就可以了，可根据三角形相似得出线段的比例来求解．

（1）

（2），

时，有最大值，；

（3）与相似，分情况讨论：

①时，则、的横坐标相等，

，，，

∴；

②时，由可得，

，，；

③因为不可能是直角，所以这种情况不存在，

∴当为或时，与相似．

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