Question

【题目】如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向中点F，G运动．连接PB，QE，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空： ①当t=s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=s时，四边形PBQE为矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF∠F，

∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t（s），

∴AP=DQ=t，则PF=QC=4﹣t，

在△ABP和△DEQ中

∴△ABP≌△DEQ（SAS）

∴BP=EQ，

同理可证，PE=QB，

∴四边形PEQB是平行四边形．

（2）2；0或4
【解析】（2）解：①当四边形PBQE为菱形时，PB=PE=EQ=QB， ∴△ABP≌△DEQ≌△PFE≌△QCB，
∴AP=PF=DQ=QC，
即t=4﹣t，得t=2，
故答案为：2；②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE为矩形；
当t=4时，∠ABP=∠APB=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此时四边形PBQE为矩形．
故答案为：0或4．
（1）根据正六边形ABCDEF内接于⊙O，可以得到正六边形的各边相等、各个内角相等，由点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度，运动时间为t，可以得到BP与QE，PE与BQ的关系，从而可以证得结论；（2）①根据菱形的性质可以得到菱形的四条边都相等，从而可以得到所用的时间；②根据矩形的性质，可以分别得到t为多少时，四边形PBQE为矩形．